Regelungstechnik

Mit einer Regelung ist das '''Stabilitätsproblem''' untrennbar verbunden. Es ''ist der Preis, den man dafür bezahlen muss, dass eine Regelung mehr kann als eine Steuerung, nämlich ein in nicht genauer Weise veränderliches System gezielt zu beeinflussen''. In einem geschlossenen Wirkkreis können die Größen prinzipiell um einen mittleren Wert hin- und herpendeln. Ursache sind die so gut wie immer vorhandenen Übertragungsglieder mit Zeitverzögerung. Eine Regelung ist ''stabil'', wenn entstehende Schwingungen abklingen und mit der Zeit verschwinden, sie ist dann im mindesten Maße ''gedämpft'', die Verstärkung im Regler (P-Glied) ist nicht zu hoch eingestellt.  

In der Mitte des 20. Jahrhunderts begann die serienmäßige Herstellung von PID-Reglern und damit eine Standardisierung für die Ausführung von Regelungen mittlerer Schwierigkeit und Güte. Mit PID-Reglern und Anwendung der dafür erarbeiteten Regeln für die Einstellung ihrer Parameter (Verstärkung und Zeitkonstanten) lassen sich auch heute noch die meisten Regelungen verwirklichen. Die anspruchsvolle Modellbildung und die mathematische Behandlung sind schwierigeren Regelstrecken und Fällen mit hoher Güte-Anforderung vorbehalten.

Die Anwendung der Faustformelverfahren genannten Einstellregeln ist eine heuristische (dennoch systematische) Methode zum Auslegen einer stabilen und nicht zu langsamen Regelung. Die verschiedenen Verfahren unterscheiden sich hinsichtlich der Grundannahmen, die bezüglich der zu regelnden Strecke getroffen werden. Es müssen nur einige wenige Kennwerte der Regelstrecke, die aus einfachen Versuchen ermittelt werden können, bekannt sein.  

Das Verfahren nach Ziegler und Nichols ist für stark verzögernde Regelstrecken, wie sie z. B. in der Verfahrenstechnik auftreten, gut geeignet. Die Einstellregeln nach Chien, Hrones und Reswick sind eine Weiterentwicklung dieses Verfahrens. Die T-Summen-Regel ist für Regelstrecken mit Tiefpassverhalten besser geeignet.

Von ''Entwurf'' wird gesprochen, wenn eine Regelung nicht einfach mit PID-Regler und einfachen Einstellregeln verwirklicht werden kann. Er ist ''linear'', wenn alle im nötigen mathematischen Systemmodell enthaltenen Zusammenhänge linear sind. Das Modell beruht auf Annahmen und Näherungen, die bezüglich der realen Teile im Regelkreis (vor allem der Regelstrecke) vorgenommen werden. Deshalb ist die damit erreichte Güte theoretisch garantiert, aber nur beschränkt auf die Praxis übertragbar. Sie wird in der Praxis gut erreicht, wenn nur geringe Abweichungen vom Arbeitspunkt auftreten.

Es existieren zahlreiche Entwurfsverfahren, von denen im Folgenden eine Auswahl angegeben wird. In der Regel ist keines der bekannten Verfahren vollständig. Während eines erfolgreichen Entwurfs werden oft mehrere Verfahren kombiniert oder nacheinander angewendet.

* Das '''Frequenzkennlinienverfahren''' ist das klassische Entwurfsverfahren. Es wurde in den 30er Jahren des 20. Jahrhunderts von Hendrik Wade Bode ausgearbeitet. Die Differentialgleichungen werden im Frequenzbereich gelöst. Dieser Umweg erleichtert nicht nur ihre Lösung. Das Übertragungsverhalten ist auch aus den Darstellungen im Frequenzbereich besser erkennbar. Die Darstellungen sind die Ortskurve des Frequenzgangs und die Frequenzgangkennlinien im Bode-Diagramm. Beispielsweise wird wie folgt verfahren: ''Ausgehend von den Dynamikforderungen an den geschlossenen Regelkreis werden Bedingungen an die Frequenzgangkennlinien der offenen Kette aufgestellt, die durch eine geeignete Wahl des Reglers erfüllt werden müssen.'' Die Stabilität wird mit dem Nyquist-Kriterium untersucht.

* Beim '''Wurzelortskurvenverfahren''' werden die Differentialgleichungen auch im Frequenzbereich gelöst. Es eignet sich nicht bei Regelstrecken mit Totzeit, ist aber mit Vorteil bei prinzipiell instabilen Regelstrecken anwendbar. Zusätzliche Untersuchungen , zum Beispiel mit dem Nyquist-Kriterium sind nicht erforderlich. Untersucht wird die offene Kette. Ihre zielgerichtete Veränderung - das heist des Verstärkungsfaktors des Reglers - erfüllt die Güteforderungen, die an den geschlossenen Kreis gestellt werden.

Beide bisher genannten Verfahren sind nicht streng systematisch, es sind typische Ingenieurmethoden, nämlich zielgerichtete Probierverfahren.

* Die '''Optimalregler-Verfahren''' verwenden mathematische Optimierungstheorie, um den Regler so zu bestimmen, dass ein Gütekriterium an die Bewegung des Ausganges und die erforderliche Stellenergie erfüllt ist. Das Verfahren ist für Mehrgrößensysteme geeignet. Dazu wird als Gütekriterium ein Funktional formuliert, in das der Regelfehler und die Stellgröße eingehen. Ziel der Optimierung ist die Minimierung des Gütefunktionals, so dass der integrale Regelfehler und die erforderliche Stellenergie minimal sind. Die Gewichtung von Regelfehler und Stellenergie kann durch Wichtungsmatrizen beeinflusst werden. Häufig wird ein quadratisches Gütekriterium verwendet, man spricht dann von einem LQ-Regler (von engl. linear quadratic regulator). Da zum Entwurf eine Riccatigleichung bzw. -differentialgleichung zu lösen ist, ist auch der Begriff Riccatiregler gebräuchlich.

* Beim Reglerentwurf zur '''Polvorgabe''' (engl. pole placement) geht man typischerweise von einer Darstellung im Zustandsraum aus. Die Güteforderungen aus dem Zeitbereich werden in die Lage der Eigenwerte übersetzt. Dann werden die Reglerparameter so bestimmt, dass die Eigenwerte des Regelkreises durch eine statische Rückführung die gewünschten Werte annehmen. Für Eingrößensysteme existieren unter üblicherweise vorhandenen Voraussetzungen (Steuerbarkeit) eindeutige Lösungen. Für ein Mehrgrößensysteme existieren üblicherweise unendlich viele Lösungen. Verfahren wie Modale Regelung oder die Entkopplung nach Falb-Wolowich schaffen Zusatzbedingungen, so dass wieder eindeutige Lösungen angegeben werden können. Falls die Strecke nicht steuerbar ist, gibt es einzelne feste Eigenwerte, die nicht verändert werden können.

* Die '''Zustandsrückführung''' erfordert die Kenntnis des Zustandes zu jedem Zeitpunkt. Unter bestimmten Voraussetzungen kann eine Zustandsrückführung durch eine Ausgangsrückführung ersetzt werden, ohne die Lage der erreichten Eigenwerte zu verändern. Ist die Regelstrecke beobachtbar, so kann der Zustandsvektor durch Einsatz eines Beobachters aus den Ausgangsgrößen rekonstruiert werden. Das Separationstheorem sichert dabei, dass (bei korrekter Streckenbeschreibung) Beobachterpole zu den Reglerpolen hinzutreten, diese aber nicht verschieben. Damit ist ein entkoppelter Entwurf von Regler und Beobachter möglich.

* In der '''robusten Regelung''' steht die Tatsache im Vordergrund, dass das mathematische Modell der Regelstrecke nur eine vereinfachte Näherung der realen Regelstrecke ist. In der robusten Regelung werden Regelungsverfahren entwickelt, die trotz Modellunsicherheiten die Stabilität (robuste Stabilität) bzw. eine Mindestgüte garantieren. Die Garantie gilt unter der Voraussetzung, dass der Modellfehler innerhalb einer analytischen Grenze bleibt.

In der zeitdiskreten Regelung, auch digitale Regelung oder Abtastregelung genannt, werden die Regelgröße und die Sollgröße in festen, gleichmäßigen Zeitabständen abgetastet und in digitale Zahlenwerte umgewandelt, also quantisiert. Der Regler berechnet aus diesen quantisierten Größen in jedem Zeitschritt die Stellgröße, die zum Abtastzeitpunkt ausgegeben und in ein Analogsignal umgewandelt wird. Ein Halteglied sichert, dass der Stellwert während des gesamten Zeitintervalls bis zum nächsten Abtastschritt anliegt.  

Zur mathematischen Behandlung von Abtastregelungen im Frequenzbereich wird dabei die z-Transformation eingesetzt.  

Das Wurzelortskurvenverfahren hat eine direkte Entsprechung im zeitdiskreten Bereich, ebenso der Optimalreglerentwurf (LQ-Regler).

Eine Besonderheit ist der Regler mit endlicher Einstellzeit, der es ermöglicht, den Sollwert nach einer endlichen Zahl ''n'' von Zeitschritten zu erreichen. Dabei ist ''n'' die dynamische Ordnung der Regelstrecke. Dieses verblüffende Ergebnis ist mathematisch durch das Cayley-Hamilton Theorem begründet.

Die Methode der harmonischen Balance ist eine Methode zur Analyse nichtlinearer Regelkreise. Sie nutzt eine Beschreibung der nichtlinearen offenen Kette im Frequenzbereich, die auf der Beschreibungsfunktion der offenen Kette beruht. Dabei wird angenommen, dass die nichtlineare offene Kette aus der Reihenschaltung eines linearen und eines nichtlinearen Systems besteht. Die Beschreibungsfunktion hat eine zum Frequenzgang linearer Systeme analoge Bedeutung. Sie gibt an, wie harmonische Schwingungen übertragen werden. Auf Basis dieser Beschreibungsform kann ein Reglerentwurf durchgeführt werden, obwohl die Methode der harmonischen Balance keine Synthesemethode ist.

Die Methode der globalen Linearisierung(auch differentialgeometrische Methode oder exakte Linearisierung genannt) basiert auf der Idee, die Nichtlinearität in der Regelstrecke durch geeignete Vorfilter und Rückführungen zu kompensieren. Anschließend wird für das linearisierte System anhand linearer Reglerentwurfsmethoden das dynamische Verhalten an die Güteforderungen angepasst. Der nichtlineare Entwurf wird somit auf linearen Entwurf zurückgeführt.

Die Flachheitsbasierte Regelung stützt sich auf den Begriff der Flachheit (engl. flatness), der eine Erweiterung des Begriffs der Steuerbarkeit für nichtlineare Systeme ist. Er erlaubt den systematischen Entwurf von Vorsteuerungen für flache nichtlineare Systeme durch Systeminversion. Meist wird die Steuerung durch eine Regelung zur Störunterdrückung ergänzt.

Die Idee des ''Gain scheduling'' basiert auf der Annahme, dass das nichtlineare System in jedem Betriebspunkt linearisiert werden kann. Für jeden Betriebspunkt wird ein Regler fester Struktur entworfen, dessen Parameter vom Betriebspunkt abhängen. Bei der Realisierung werden die Parameter in Abhängigkeit vom Betriebspunkt eingestellt. Eine spezielle Klasse nichtlinearer System, sind lineare Systeme, deren Systemmatrizen explizit von Parametern θ abhängen. Diese Systeme werden als linear parameter-varying (LPV) Systeme bezeichnet. Im LPV-gain scheduling werden die Reglerparameter explizit von θ abhängig gemacht.  

In zahlreichen Anwendungsgebieten (z. B. Flugregelung) bleibt die Struktur des Modells über den gesamten Arbeitsbereich gültig, es ändern sich jedoch einzelne Parameter. Beispiele sind die Änderung der Dichte von Luft mit der Flughöhe, oder die Masse eines Flugzeuges mit der Zeit. In der adaptiven Regelung werden die Reglerparameter automatisch den sich ändernden Bedingungen angepasst. Adaptive Regelungen können u.a. durch flexible Regleralgorithmen (Controller Switching Technology) realisiert werden. Flexible Regleralgorithmen ermöglichen es, unterschiedliche, an den jeweiligen Arbeitspunkt angepasste, Reglerstrukturen und Reglerparameter im laufenden Betrieb umzuschalten. Dafür muss je Arbeitspunkt ein Trigger-Signal oder eine Signalspanne definiert werden, welche eindeutig die anzuwendende Reglerstruktur und Reglerparameter bestimmt. Kleinere Abweichungen der Regelstrecke vom Entwurfsmodell werden mittels Methoden zur Robusten Regelung abgedeckt.

Die prädiktive Regelung beinhaltet eine spezielle Komponente (den Prädiktor) zur Vorhersage des künftigen Systemverhaltens. Die Vorhersage ermöglicht eine verbesserte Ermittlung des Stellwertes in Bezug auf das gewünschte künftige Verhalten. Klassische Regler ohne Prädiktor müssen die Reaktion der Regelstrecke auf den Stellwert abwarten, können also nur reagieren. Die Prädiktive Regelung bezeichnet diesen allgemeinen Ansatz, wobei unterschiedliche spezifische Realisierungen existieren (Smith-Prädiktor, Internal Model Control, Model Predictive Control). Prädiktive Regelungsstrukturen sind besonders vorteilhaft, wenn die Strecke stark verzögerndes Verhalten aufweist, etwa große Totzeiten.

In der Fuzzy Regelung werden den Signalen (Regelgröße, Regelfehler, Stellwert) symbolische Werte anstatt numerischer Werte zugewiesen. Dieses Vorgehen ist besonders vorteilhaft, wenn intuitives Expertenwissen über die manuelle Regelung des Prozesses vorhanden ist, ein formaler Reglerentwurf wegen eines fehlenden Modells jedoch nicht praktikabel ist. Die Fuzzy Regelung basiert auf der Fuzzy-Logik, die eine Erweiterung der booleschen Logik ist. Die Fuzzy Regelung wurde erstmals zur Steuerung der U-Bahn in Sendai in der Praxis erfolgreich eingesetzt (siehe U-Bahn Sendai).

Neuronale Netze werden in der Regelungstechnik sowohl zur Darstellung von Kennfeld-Reglern als auch zur Systemidentifikation verwendet. Beispielsweise können neuronale Netze zum Autotuning von PID-Reglern oder für die adaptive Regelung eingesetzt werden.

Die Stabilität des Regelkreises ist eine grundlegend wichtige Eigenschaft, da in der Praxis Instabilität meist zu Schäden führt (z. B. Absturz eines Flugzeuges, Explosion eines Kessels usw.). Grundlegende Erkenntnisse zur Stabilitätstheorie wurden von Maxwell, Routh und Hurwitz beigetragen.

Zur Beurteilung der Stabilität eines Regelkreises existieren mehrere Stabilitätsbegriffe und dazugehörige Analysemethoden, welche die Stabilitätstheorie bilden. Grundvoraussetzung für die Stabilitätsprüfung ist, dass ein mathematisches Modell der Regelstrecke vorliegt.

Gängige Stabilitätsbegriffe sind die Zustandsstabilität und Eingangs-/Ausgangs-Stabilität (E/A-Stabilität). Die Zustandsstabilität fordert anschaulich, dass alle Zustandsvariablen ohne äußeren Einfluss auf ein Gleichgewicht zustreben. Bei LZI-Systemen ist dies der Ursprung, bei nichtlinearen Systemen kann es mehrere Gleichgewichtszustände geben. Zur ihrer Analyse ist die Eigenbewegung des Systems maßgeblich. Die E/A-Stabilität (auch BIBO-Stabilität, engl. bounded input-bounded output) fordert lediglich, dass die Ausgangssignale bei beschränkten Eingangssignalen und verschwindendem Anfangszustand beschränkt bleiben.

Im Fall von LZI-Systemen kann für die Betrachtung der Stabilität auf die charakteristische Gleichung zurückgegriffen werden, welche das charakteristische Polynom verwendet. Liegen bei zeitkontinuierlichen Systemen alle Eigenwerte, das heißt Lösungen der charakteristischen Gleichung, in der linken Halbebene der komplexen s-Ebene, so ist der Regelkreis stabil. Weitere Kriterien zur Prüfung der Stabilitätseigenschaft für LZI-Systeme sind das Hurwitzkriterium, das Phasenrandkriterium und das Nyquistkriterium.

Ein sehr allgemeines, auch für nichtlineare Systeme geeignetes Kriterium zur Stabilitätsprüfung ist die direkte Methode von Ljapunov anhand der Ljapunov-Funktion (Ljapunov-Methode). Weitere für nichtlineare Systeme anwendbare Stabilitätskriterien sind das Popov-Kriterium und das Kreiskriterium.

[[Datei:Gueteforderungen SollwertfolgeDynamik.png|thumb|400px|Kenngrößen des Verhaltens eines dynamischen Systems, dargestellt anhand der Sprungantwort. Die Verzugszeit Tu und Anstiegszeit Ta sind durch die Wendetangente bestimmt. Die Überschwingzeit Tm ist durch den Zeitpunkt, an dem das erste Maximum der Sprungantwort auftritt, festgelegt. Die Beruhigungszeit T±5% ist der letzte Zeitpunkt, zu dem die Sprungantwort in ein Band der Breite ±5% eintaucht.]]

Die Sollwertfolge kann anhand der Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises überprüft werden. Die Frequenz Null muss mit der Verstärkung eins übertragen werden, dann ist Sollwertfolge gewährleistet.

Unter dem dynamischen Übergangsverhalten werden Anforderungen an das Kreisverhalten zusammengefasst, die seine Geschwindigkeit und sein Überschwingen betreffen (siehe Abbildungen). Sie werden anhand der Übergangsfunktion definiert. Die Überschwingzeit Tm bezeichnet den Zeitpunkt des ersten Überschwingmaximums der Sprungantwort. Die Zeit T±5% bezeichnet die Zeit, nach der die Sprungantwort ein Band der Breite ±5% nicht mehr verlässt. Die Überschwingweite bezeichnet die Amplitude der Schwingung einer Sprungantwort um den statischen Endwert. Weitere Kenngrößen sind die Verzugszeit Tu und die Anstiegszeit Ta.

Weitere gebräuchliche Maße für die Güte des Regelverhaltens sind Integralkriterien, die geeignet sind, die Güte des Regelverhaltens in Abhängigkeit von den durch die Sprungantwort und die Führungsgröße abgegrenzten Flächen abzuschätzen. Ein solches Gütekriterium ist das ITAE-Kriterium.

Zur Realisierung eines Regelkreises muss der entworfene Regler physikalisch realisiert werden. Hierzu können ''Analogrechner'', ''digitale Kompaktregler'' oder ''Soft-Regler'' in einer geeigneten Speicherprogrammierbaren Steuerung eingesetzt werden.

In der Forschung und Entwicklung entsteht regelmäßig das Problem, neue Regelungskonzepte zu testen. Die wichtigsten Software-Werkzeuge für rechnergestützte Analyse, Entwurf und Rapid Control Prototyping von Regelungen sind nachfolgend aufgeführt.

* MATLAB und Simulink, The MathWorks: Durch zahlreiche Toolboxes ein sehr umfangreiches Softwarepaket für numerische Mathematik, für Simulation, Systemidentifikation, Reglerentwurf und Rapid Control Prototyping geeignet (kommerziell)

* Scilab, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (INRIA): Ebenfalls sehr umfangreiches Softwarepaket für numerische Mathematik mit ähnlichem Konzept und ähnlicher Syntax wie MATLAB, für Simulation, Systemidentifikation und Rapid Control Prototyping geeignet (frei)

* CAMeL-View TestRig: Entwicklungsumgebung zur Modellbildung von physikalischen Systemen mit dem Schwerpunkt Reglerentwurf und Rapid Control Prototyping sowie zur Anbindung an Versuchsstände (kommerziell)

* Maple: Computeralgebra-System, beherrscht numerische und symbolische Mathematik, besonders für manche Entwurfsverfahren der nichtlinearen Regelung geeignet (kommerziell)

* Mathematica, Wolfram Research, Inc.: Umfangreiches Softwarepaket für numerische und symbolische Mathematik (kommerziell)

* LabVIEW, National Instruments (NI): Integrierte Hard- und Software-Lösungen für die Rechnersteuerung von Versuchsständen (kommerziell)

* TPT: Systematisches Testwerkzeug für Regelungssysteme, das neben der Simulation auch eine Ergebnisauswertung und Analysemöglichkeit bietet.

* SCALE-RT: Skalierbare Open-Source und Linux-basierte Echtzeit-Simulationssoftware SCALE-RT bietet eine Echtzeitsimulations-Umgebung für SiL und HiL-Simulationen auf kommerzieller PC-Hardware. (kommerziell)

* Druck- und Kraftregelung

* Lage-, Positions-, und Entfernungsregelung

* Geschwindigkeits- und Beschleunigungsregelung

* Drehzahl- und Drehmomentregelung

[[Datei:Shanghai Transrapid 002.jpg|100px|thumb|<center>Transrapid</center>]]

[[Datei:Mercedes V6 DTM Rennmotor 1996.jpg|100px|thumb|<center>Verbrennungsmotor</center>]]

[[Datei:Sperrmauer-866.jpg|100px|thumb|<center>Talsperre</center>]]

* Bahntechnik: In der ''Antriebsregelung'' treten vielfältige Regelungsprobleme auf, es sind beispielsweise Drehmoment und Geschwindigkeit zu regeln. An der U-Bahn Sendai wurde die Fuzzy-Regelung erfolgreich eingesetzt.

* Luftfahrt: Regelungsprobleme treten in zahlreichen Komponenten von Flugzeugen auf, etwa in den Turbinen, aber auch bezogen auf die Flugdynamik. Beispiele für flugdynamische Regelungsprobleme sind die Kontrolle der Roll-, Gier-, und Nickwinkel, sowie der Autopilot. Siehe auch Flugsteuerung.

* Energietechnik: Stellungsregelung eines Stellventils mit Stellantrieb innerhalb einer Reglerkaskade. In Elektroenergienetzen sind Spannung und Frequenz netzweit zu halten. In jedem Kraftwerk werden Spannung und Frequenz lokal geregelt, so dass die Aufgabe mit dezentralen Reglern durch Variation der Regelleistung gelöst wird (siehe auch Kraftwerksmanagement). Global werden lediglich die Leistungssollwerte der einzelnen Kraftwerke vorgegeben. Die Drehzahlregelung einer Dampfmaschine mit Fliehkraftregelung ist ein klassischer Anwendungsfall

* Kraftfahrzeugtechnik: Tempomat und Antiblockiersystem (ABS), aber auch elektronisches Stabilitätsprogramm sind bekannte Regelungen im Fahrzeugbereich, die auch als Fahrerassistenzsysteme bezeichnet werden. Auch Verbrennungsmotoren beinhalten vielfältige Regelkreise, beispielsweise für Leerlaufdrehzahl, Luftverhältnis (siehe auch Lambdasonde), Klopfregelung (siehe auch Klopfen (Verbrennungsmotor)). Moderne automatische Schaltgetriebe benötigen ebenfalls Regelkreise für die Synchronisation beim Schalten.

* Pipeline: In Pipelines kommen vor allem vermaschte Regelungen vor, für Durchfluss, Druckregelung (Vordruck, Nachdruck) und Stellungsregelung einschließlich Grenzwertregelung.

* Robotik: In der Fertigungsautomatisierung sind die Achsen der Fertigungsroboter zu positionieren. Hier spielen eine schnelle Beruhigungszeit und geringstes Überschwingen eine besonders große Rolle.

* Verfahrenstechnik: In verfahrenstechnischen Prozessen treten Regelungsprobleme für jegliche chemische und physikalische Größen auf, die im betrachteten Prozess eine Rolle spielen. Beispiele sind die Regelung von Füllstand, Temperatur, pH-Wert und Sauerstoffgehalt eines Rührkessel-Reaktors oder das konstant halten von Stoff- bzw. Ionenkonzentrationen mit einem Chemostat.

* Wasserwirtschaft: Zur Vermeidung von Überschwemmungen und Sicherung der Wasserversorgung sind unterlagerte Regelungen von Ketten von Talsperren bedeutsam. Der Füllstand eines einzelnen Stausees wird von einem übergeordneten Management vorgegeben und lokal geregelt.